Steins 傅里叶分析 第二章部分习题解答
Exercise
9
定义
\[\chi_{[a,b]}(x)=[x\in[a,b]]\]
求其在 \([-\pi,pi]\) 上的傅里叶展开
证明该展开在 \(a,b\neq \pi\) 且 \(a\neq b\) 时不绝对收敛
证明该展开在任意一点收敛
(1)，易得
\[f(x)\sim \frac{b-a}{2\pi}+\sum_{n\neq 0}\frac{e^{-ina}-e^{-inb}}{2\pi in}e^{inx}\]
取 \(x=\dfrac{a+b}{2}\)，注意到最后是 \(\sum \dfrac{\sin n\frac{b-a}{2}}{\pi n}\) 的形式，而 \(|\sin \dfrac{b-a}{2}|\) 在大部分地方 \(\geq \epsilon >0\)，因此不绝对收敛。
\(a=b\) 和 \(a=-\pi,b=\pi\) 的情况易证。
\[\hat f(n)e^{inx}+\hat f(-n)e^{-inx}=\frac{\sin n(x-a)-\sin n(x-b)}{\pi n} \]
考虑级数 \(\sum \sin n(x-a)-\sin n(x-b)\) 的部分和
\[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^N \sin n(x-a)-\sin n(a-b)&=\frac{\sin \dfrac{N(x-a)}{2}\sin \dfrac{(N+1)(x-a)}{2}}{\sin \dfrac{x-a}{2}}[x\neq a] \\ &- \frac{\sin \dfrac{N(x-b)}{2}\sin \dfrac{(N+1)(x-b)}{2}}{\sin \dfrac{x-b}{2}}[x\neq b] \\ & \leq \frac{1}{\sin \dfrac{x-a}{2}}[x\neq a] + \frac{1}{\sin \dfrac{x-b}{2}}[x\neq b] = O(1) \end{aligned} \]
由 A-D 判别法，\(\{\dfrac{1}{n\pi}\}_n\) 单调收敛于 0， \(\sum \sin n(x-a)+\sin n(x-b)\) 有界，因此 \(\sum \hat f(n)e^{inx}+\hat f(-n)e^{-inx}\) 收敛。