MIT Integration Bee 2023 - Final 题目解答
1
\[\int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\cos x+\sin x)^2}\mathrm dx\]
\[ \begin{aligned} I &= \int_0^{\pi/2}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(1+\tan x)^2}\mathrm d\tan x \\ &=\int_0^{\infty}\frac{t^{1/3}}{(1+t)^2}\mathrm dt \\ &=\mathcal B(\frac{4}{3},\frac{2}{3}) \\ &=\Gamma(\frac{4}{3})\Gamma(\frac{2}{3}) \\ &=\frac{\Gamma(\dfrac{1}{3})\Gamma(\dfrac{2}{3})}{3} \\ &=\frac{2\pi}{3\sin\dfrac{\pi}{3}} \\ &= \frac{2\sqrt 3}{9}\pi \end{aligned} \]
2
\[\int_0^\pi \Big(\frac{\sin 2x\sin 3x\sin 5x\sin 30x}{\sin x\sin 6x\sin 10x\sin 15x}\Big)^2\mathrm dx\]
先用二倍角公式上下抵消一下，得到
\[I=\int_0^\pi \Big(\frac{\cos x\cos 15x}{\cos 3x\cos 5x}\Big)^2\mathrm dx\]
然后用三倍角公式展开，得到
\[I=\int_0^\pi\Big(\frac{4\cos^2 5x-3}{4\cos^2 x-3}\Big)\mathrm dx=\int_0^\pi\Big(\frac{2\cos 10x-1}{2\cos 2x-1}\Big)^2\mathrm dx\]
然后做变换 \(t=2x\)，得到
\[I=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \Big(\frac{2\cos 5x-1}{2\cos x-1})^2\mathrm dx\]
对这个东西傅里叶展开，得到
\[-1-2\cos x+2\cos 3x+2\cos 4x\]
这个的平方在 \(0\) 到 \(2\pi\) 积分，因为 \(\sin kx\) 是正交的，所以只需要考虑平方的积分，除了常数项是 \(2\pi\) 其他的都是 \(\pi\)，因此
\[I=\frac{1}{2}(2\pi+4\pi+4\pi+4\pi)=7\pi\]
3
\[\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{x^2+1+\sqrt{x^4+x^2+1}}\mathrm dx\]
\[ \begin{aligned} I&=2\int_0^{1/2}\sqrt{\Big(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{2}}+\sqrt{\frac{x^2-x+1}{2}}\Big)^2}\mathrm dx \\ &= \sqrt 2\int_0^{1/2}\sqrt{x^2+x+1}\mathrm dx+\sqrt 2\int_0^{1/2}\sqrt {x^2-x+1}\mathrm dx \end{aligned}\]
后面就是基本的套公式了。
\[I=\frac{\sqrt 7}{2\sqrt 8}+\frac{3}{4\sqrt 2}\ln |\frac{\sqrt 7+2}{\sqrt 3}|\]
4
感觉做法挺一眼的，就是可能如果不让用计算器的话最后计算数值解会有些困难？
5
\[\int_0^1 \Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}\Big)^2\mathrm dx\]
神仙题呜呜呜
stackexchange 上抄的初等做法。
\[I_a:=\int_0^a \Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}\Big)^2\mathrm dx\]
则对于 \(I_1\)，我们有两种处理方法，一种是做变换 \(t=x/2\)，一种是做变换 \(t=x-1/2\)，这两种都可以得到一个 \(I_1\) 和 \(I_{1/2}\) 的关系、
首先做变换 \(t=x/2\)
\[ \begin{aligned} I_1 &= 2\int_0^{1/2}\Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^{n+1}x\rfloor}{3^n}\Big)^2 \mathrm dx \\ &= 2\int_0^{1/2}\Big(3\sum_{n=\color{red}1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}\Big)^2 \mathrm dx \\ &= 18 I_1 \end{aligned} \]
注意红色的地方，本来是没有这一项的，但是因为 \(\lfloor 2x\rfloor\) 对于 \(x\in (0,1/2)\) 都是 \(0\)，所以可以添上这一项。
接下来做变换 \(t=x-1/2\)
\[ \begin{aligned} I_1 &= \int_0^{1/2}\Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}\Big)^2\mathrm dx+\int_{1/2}^1 \Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}\Big)^2 \mathrm dx \\ &= I_{1/2}+\int_0^{1/2}\Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}\Big)^2 \mathrm dx \\ &= I_{1/2}+\int_0^{1/2}\Big(\sum_{n=1}^\infty\frac{\lfloor 2^nx\rfloor}{3^n}-1\Big)^2\mathrm dx \\ &= 2I_{1/2}+2\int_0^{1/2}\sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor 2^n x\rfloor}{3^n}\mathrm dx+\frac{1}{2} \end{aligned} \]
这个一次项的积分是好做的。
\[ \begin{aligned} \int_0^{1/2}\frac{\lfloor 2^n x\rfloor}{3^n}\mathrm dx &= \frac{1}{6^n}\int_0^{2^{n-1}}\lfloor x \rfloor \mathrm dx \\ &= \frac{1}{6^n}\frac{1}{2}2^{n-1}(2^{n-1}-1) \\ &= \frac{2^{n-1}-1}{4\times 3^n} \end{aligned} \]
等比数列求和得到
\[\int_0^{1/2}\sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor 2^n x\rfloor}{3^n}\mathrm dx=\frac{1}{8}\]
带入 \(I_{1/2}=I_1/18\)，有
\[I_1=\frac{I_1}{9}+\frac{3}{4}\]
整理即得
\[I_1=\frac{27}{32}\]