Steins 傅里叶分析 第五章部分习题解答

Exercise 4

(a): 注意到 \(f^{(n)}(x)\) 可写作 \(P_n(\dfrac{1}{x-a},\dfrac{1}{x-b})e^{-\dfrac{1}{x-a}-\dfrac{1}{x-b}}\)，其中 \(P_n(s,t)\) 是关于 \(s,t\) 的多项式。

我们只需要证明 \(f^{(n)}(x)\) 在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 存在即可。

以 \(x=a\) 为例，注意到 \(x<a,f(x)\equiv 0\)，因此 \(f^{(n)}(a^-)=0\)，同时将 \(a^+\) 带入上面那个式子，得到 \(f^{(n)}(a^+)=0\)，故 \(f^{(n)}(a)=0\).

(b): \(F(x)=\dfrac{\int_{-\infty}^xf(t)\mathrm dt}{\int_{\mathbb R}f(t)\mathrm dt}\)

(c):

\[g(x)=\begin{cases} F(\dfrac{(x-a)(b-a)}{\delta}+a) & \text{ if } x\leq \dfrac{a+b}{2} \\ F(\dfrac{(b-x)(b-a)}{\delta}+a) & \text{ if } x>\dfrac{a+b}{2} \end{cases}\]