【M#5】Van der Corput Difference Theorem

Van der Corput Difference Theomrem: 对于数列 \(\{f(n)\}_n\)，若 \(\forall h\in \mathbb Z\) ,\(\{f(n+h)-f(n)\}_n\) 在 \([0,1]\) 上等分布，则 \(\{f(n)\}_n\) 在 \([0,1]\) 上等分布。

我们首先证明一个引理：

Lemma(Van der Corput's Fundamental Inequality): 设 \(\{u_n\}_{n=1}^N\in\mathbb C,H\in\mathbb Z,1\leq H\leq N\)，则有

\[H^2\Bigg|\sum_{n=1}^N u_n\Bigg|^2\leq \color{red}{H(N+H-1)\sum_{n=1}^N |u_n|^2}+\color{green}2(N+H-1)\sum_{h=1}^{H-1}(H-h)\Re\sum_{n=1}^{N-h}u_n\overline{u_{n+h}} \tag{1}\]

证明考虑把 \(u_n\) 拓展定义到 \(\{u_n\}_n\)，其中 \(u_k=0,k>N\)，那么有

\[H\Bigg|\sum_{n=1}^N u_n\Bigg|=\sum_{p=1}^{N+H-1}\sum_{h=0}^{H-1}u_{p-h}=\sum_{p=1}^{N+H-1}\Bigg(1\cdot \sum_{h=0}^{H-1}u_{p-h}\Bigg)\]

两边用 Cauchy-Schwartz 不等式

\[ \begin{aligned} H^2\Bigg|\sum_{n=1}^N u_n\Bigg|^2 &\leq (N+H-1)\sum_{p=1}^{N+H-1}\Bigg(\sum_{h=0}^{H-1}u_{p-h}\Bigg)^2 \\ &=(N+H-1)\sum_{p=1}^{N+H-1}\Bigg(\sum_{h_1=0}^{H-1}u_{p-h_1}\Bigg)\Bigg(\sum_{h_2=0}^{H-1}\overline{u_{p-h_2}}\Bigg) \end{aligned} \]

对于 \(h_1=h_2\) 的单独提出来，就得到了 \((1)\) 中红色的部分

对于 \(h_1\neq h_2\) 的部分，考虑 \(|h_1-h_2|=h\) 的 \(u_n\overline{u_{n+h}}\) 一共出现的次数，以及注意到结果一定是实数，所以虚部抵消掉了，就得到了绿色的部分。

证明了引理之后，我们取 \(u_n=e^{2\pi if(n)}\)，得到

\[|S_N|^2\leq \frac{H(N+H-1)N}{H^2}+\frac{\sum_{h=1}^{H-1}2(N+H-1)H|\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi i(f(n+h)-f(n))}|}{H^2}\]

接下来利用放缩 \(N+H-1\leq 2N\) 得到

\[ \begin{aligned} |S_N|^2&\leq \frac{4N}{H}\sum_{h=1}^{H-1}\Bigg|\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi i(f(n+h)-f(n))}\Bigg| \\ &\leq \frac{4N^2}{H}\sum_{h=1}^{H-1}\Bigg|\frac{1}{N-h}\sum_{n=1}^{N-h}e^{2\pi i(f(n+h)-f(n))}\Bigg| \end{aligned} \]

由定理假设，以及 \(H\) 为有限数，得后面大 sigma 里面是 \(o(1)\)，故 \(|S_N|^2=o(N^2)\)，即证明 \(\{f(n)\}\) 是等分布 \([0,1]\) 上的序列。

一些应用：

对于 \(\sigma>0,a\neq\in\mathbb Z\),\(\{an^\sigma\}\) 在 \([0,1]\) 为等部分序列。

在 Exercise 8 中我们已经证明了 \(\sigma\in(0,1)\) 的时候的结果，对于 \(\sigma\in (k,k+1)\) 只需要每次差分然后数学归纳即可。