【M#3】周长一定的闭合曲线为圆时围成的面积最大

我们在这里证明一个广为人知的结论，即周长一定的闭合曲线为圆时围成的面积最大。

具体的，对于平面上的一条闭合曲线 \(\gamma:[a,b]\to \mathbb R^2\) ，\(\gamma(a)=\gamma(b)\)，其长度定义为

\[\ell=\int_a^b \sqrt{(x^\prime)^2(t)+(y^\prime)^2(t)}\mathrm dt\]

其面积定义为

\[\mathcal A=\frac{1}{2}\Bigg|\int_a^b x(t)y^\prime(t)-x^\prime(t)y(t)\mathrm dt \Bigg|\]

则有

\[\mathcal A\leq \frac{\ell^2}{4\pi}\]

当且仅当 \(\gamma\) 为一个圆时等式成立。

首先，我们需要把曲线转化成一个标准的形式。

对 \(t\) 做变量代换，我们可以把 \(\gamma\) 定义到 \([0,2\pi]\) 上。

其次，调整 \(x(t),y(t)\) 使得任意时刻 \((x^\prime)^2(t)+(y^\prime)^2(t)=1\)，这样我们将曲线的 \(\ell\) 调整为 \(2\pi\)，接下来我们只需要证明 \(\mathcal A\leq \pi\) 即可。

注意到 \(\gamma(0)=\gamma(2\pi)\)，我们可以将 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 分别写成傅里叶级数的表达

\[x(t)\sim \sum a_ne^{int} \text{ and } y(t)\sim \sum b_ne^{int}\]

则

\[x^\prime(t) \sim \sum a_nine^{int} \text{ and } y^\prime(t)\sim \sum b_nine^{int}\]

则

\[\mathcal A=\Big|\pi \sum n(a_n\overline{b_n}-b_n\overline{a_n})\Big|\]

利用

\[n\leq n^2 \tag{1}\]

\[|a_n\overline{b_n}-b_n\overline{a_n}|\leq 2|a_n||b_n| \tag{2}\]

\[2|a_n||b_n|\leq |a_n|^2+|b_n|^2 \tag{3}\]

得到

\[\mathcal A\leq \pi \sum n^2(|a_n|^2+|b_n|^2)=\pi ||x(t)||\cdot ||y(t)||=\pi \tag{4}\]

接下来考虑取等条件，\((1)\) 说明 \(a_k(|k|\geq 2)=0\)，因为 \(x(t),y(t)\in\mathbb R\)，说明 \(a_1=\overline{a_{-1}},b_1=\overline{b_{-1}}\)，\((4)\) 说明 \(|a_1|^2+|a_2|^2=1/2\)，\((3)\) 说明 \(|a_1|=|b_1|=\frac{1}{2}\)

因此可设

\[a_1=\frac{1}{2}e^{in\alpha} \text{ and } b_1=\frac{1}{2}e^{in\beta}\]

带入 \((3)\)，得到 \(|\sin(\alpha-\beta)|=1\)，也就是说 \(a_1\) 和 \(b_1\) 是垂直的。

旋转坐标系到 \(\alpha\)，不妨设 \(\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{2}\)，在新的坐标系下，有

\[x(t)=a_0+2a_1\cos t\text{ and }y(t)=b_0+2b_1\sin t\]

这正是圆的形式。