【M#2】 Cesaro 和, Abel 和
Cesaro Sum
在考虑一个级数的和的收敛的时候，我们可能会遇到一些问题，比如对于这样一个级数：
\[1,-1,1,-1,1,-1,1,\cdots \tag{1}\]
他的部分和 \(s_n=[n \text{ is odd}]\)，在常规的意义下他是不可和的，但是他的部分和又表现出了一些收敛的性质。
比如对于这个数列，他的部分和在一半的情况下是 \(1\)，一半的情况下是 \(0\)，那么我们把这个和的极限定义为 \(1/2\) 是在一定程度上合理的。
所以我们可能需要一些更强的收敛性质。
\(\color{red}{定义1}\): 定义
\[\sigma_n=\frac{\sum_{k=0}^{n-1} s_k}{n}\]
为级数 \(\{z_n\}\) 的第 \(n\) 个 Cesaro 和，其中 \(s_n\) 为 \(z_n\) 的部分和。
如果 \(\sigma_n\) 收敛，则称 \(\{z_n\}\) 是 Cesaro 可和的。
在这个定义下，不难验证 \((1)\) 中的 Cesaro 和收敛于 \(1/2\)。
Dirichlet Kernal & Fejer Kernel
回忆 Dirichlet Kernel 定义为
\[D_n(x)=\sum_{k=-n}^n e^{inx}=\frac{\sin(n+\dfrac{1}{2})x}{\sin \dfrac{x}{2}}\]
且满足
\[S_n(f)(x)=(f*D_n)(x)\]
我们对于 \(f\) 求 Cesaro 和，得到
\[\sigma_n(f)(x)=\frac{S_0(f)(x)+S_1(f)(x)+\cdots+S_{n-1}(f)(x)}{n}=(f*K_n)(f)(x)\]
其中 \(K_n\) 为 Fejer Kernel，定义为
\[K_n(x)=\sigma_n(D_n)(x)=\frac{\sin^2 \dfrac{nx}{2}}{n\sin^2\dfrac{x}{2}}\]
注意到 \(K_n\) 满足 Good Kernel 的所有性质，这直接得到了 Fejer 定理：
\(\color{red}{定理1}\): 如果 \(f\) 可积，则 \(f\) 的傅里叶级数在每一个 \(f\) 的连续点处 Cesaro 可和；进一步的，如果 \(f\) 连续，则 \(f\) 的傅里叶展开的 Cesaro 和一致收敛与 \(f\)
Abel Sum
\(\color{red}定义2\): 对于级数 \(\{z_n\}\)，对于 \(0\leq r<1\)，定义
\[A(r)=\sum_{k=0}^\infty z_kr^k\]
若 \(A(r)\) 收敛，且
\[\lim_{r\to 1}A(r)=s\]
则称 \(\{z_n\}\) Abel 可和于 \(s\), \(s\) 被成为 Abel 均值。
Abel 可和强于 Cesaro 可和，如对于级数
\[1,-2,3,-4,\cdots \tag{2}\]
\[A(r)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k(k+1)r^k=\frac{1}{(1+r)^2}\]
是 Abel 可和的。
但是他不是 Cesaro 可和的，因为
\(s_k=\lceil k/2\rceil (-1)^{k+1}\)，\(s_k\) 的前缀和要么是 \(0\) 要么是 \(n/2\)，他的 Cesaro 部分和要么是 \(0\) ，要么是 \(1/2\)，并不收敛。
Poisson Kernel
Abel 和对应的 Kernel 是 Poisson Kernel。
对于一个函数 \(f(\theta) \sim \sum_n a_ne^{in\theta}\)，定义这个函数的 Abel 均值
\[A_r(f)(\theta)=\sum_{n}a_nr^{|n|}e^{in\theta}\]
定义 Poisson Kernel \(P_r(\theta)\)满足 \(A_r(f)(\theta)=(f*P_r)(\theta)\)
则
\[P_r(\theta)=\sum_n r^{|n|}e^{in\theta}\]
进一步展开得到
\[P_r(\theta)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta+r^2}\]
\(P_r(\theta)\) 同样是 Good Kernel，因此将定理1中的 Cesaro 可和结论替换为 Abel 可和结论同样成立。
Summable & Cesaro Summable & Abel Summable
在本节中，我们将证明三种可和是有强弱关系的，具体来说
\[\text{Summable} \Longrightarrow \text{Cesaro Summable} \Longrightarrow \text{Abel Summable}\]
\(\color{red}{定理2}\): 若 \(\sum_{k=1}^{\infty} z_k=s\)，则 \(\{z_n\}\) Cesaro 可和，且 \(\sigma=s\)
证明是基本的。
在前面已经提到过，存在数列是 Cesaro 可和但不是可和的。
\(\color{red}{定理3}\)：若 \(\{z_n\}\) Cesaro 可和，则 \(\{z_n\}\) Abel 可和，且 \(\lim_{r\to 1} A(r)=\sigma\)
证明：
假设 \(\sigma=0\)，否则可以调整 \(z_1\)。
\[A(r)=\sum_{n=0}^{\infty}z_nr^n = (1-r)^2\sum_{n=0}^{\infty}n\sigma_nr^n\]
两边在 \(r\to 1\) 时取极限，得到 \(A(r)\to 0\)。
前面同样举出了是 Abel 可和但是不 Cesaro 可和的例子，这完成了单向关系的构建。
Tauber's Theorem
当然，在对于 \(z_n\) 加以额外的限制的情况下，上面三个不同的可和性可以变为等价的。
\(\color{red}{定理4}\)：若 \(z_n\) Cesaro 可和于 \(\sigma\)，且 \(c_n=o(1/n)\)，则 \(z_n\) 可和于 \(\sigma\)
证明：
\[s_n-\sigma_n=\frac{(n-1)z_n+(n-2)z_{n-1}+\cdots +z_2}{n}\]
两边对 \(n\) 取极限。
\(\color{red}{定理5}\)：若 \(z_n\) Abel 可和于 \(A\)，且 \(c_n=o(1/n)\)，则 \(z_n\) 可和于 \(A\)
取 \(r=1-1/n\)
\[ \begin{aligned} |s_n-\sum_{k=1}^n z_kr^k| &=|\sum_{k=1}^n z_k-\sum_{k=1}^n z_k(1-\frac{1}{n})^k| \\ &\leq |\sum_{k=1}^n z_k(1-(1-\frac{1}{n}))^k| \\ &\leq |\sum_{k=1}^n \frac{kz_k}{n}| +o(1/n) \\ \end{aligned} \]
对 \(n\) 取极限，即证。