MIT Integration Bee 2023 - Semifinal 部分题目解答
感觉 Semifinal 除了 1.3 和 2.3 神题以外其他的反而比较常规。
1.1
\[\int e^{\cos x}\cos(2x+\sin x)\mathrm dx\]
\[ \begin{aligned} I &=\int e^{\cos x}\cos(x+(x+\sin x))\mathrm dx \\ &= \int e^{\cos x}\Big((1+\cos x)\cos(x+\sin x)-\sin x\sin (x+\sin x)\Big) \mathrm dx-\int e^{\cos x}\cos(x+\sin x)\mathrm dx \\ &= e^{\cos x}\sin(x+\sin x)-\int e^{\cos x}\Big(\cos x\cos\sin x-\sin x\sin\sin x)\mathrm dx \\ &= e^{\cos x}\sin (x+\sin x)-e^{\cos x}\sin\sin x \end{aligned} \]
1.2
不会。
直接扔个 StackExchange
讲真这题神了（
1.3
\[\int_0^\pi \frac{1\cos x-\cos 2021x-2\cos 2022 x-\cos 2023 x+2}{1-\cos 2x}\mathrm dx\]
\[ \begin{aligned} I &=\int_0^\pi \frac{2\cos x+2-(\cos 2021x+\cos 2022 x)-(\cos2022 x-\cos 2023 x)}{1-\cos 2x}\mathrm dx \\ &=\int_0^\pi \frac{2\cos x+2-2\cos\dfrac{x}{2}\Big(\cos\dfrac{4043}{2}x+\cos\dfrac{4045}{2}x\Big)}{1-\cos 2x}\mathrm dx \\ &= \int_0^\pi \frac{2\cos x+2-4\cos^2\dfrac{x}{2}\cos 2022 x}{1-\cos 2x}\mathrm dx \\ &= \int_0^\pi \frac{4\cos^2\dfrac{x}{2}(1-\cos 2022x)}{2\sin^2 x}\mathrm dx \\ &= \int_0^\pi \frac{1-\cos 2022x}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}\mathrm dx \\ &= \int_0^\pi \frac{1-\cos 2022x}{1-\cos x}\mathrm dx \\ &= 2022\pi \end{aligned} \]
最后一步用了 Fejer 积分：
\[\int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos nx}{1-\cos x}\mathrm dx=\frac{n\pi}{2}\]
证明实际上不难：
\[ \begin{aligned} \frac{1-\cos nx}{1-\cos x} &= \frac{(1-\cos x)+(\cos x-\cos 2x)+\cdots (\cos(n-1)x-\cos nx)}{1-\cos x} \\ &= \frac{2\sin \dfrac{x}{2}\sum_{k=1}^n \sin(k-\dfrac{1}{2})x}{2\sin^2 \dfrac{x}{2}} \\ &=\sum_{k=1}^n \sin(k-\frac{1}{2})x \end{aligned} \]
因为
\[ \begin{aligned} \sin(n+\frac{1}{2})x&=\sin\frac{x}{2}+(\sin \frac{3}{2}x-\sin x)+\cdots+(\sin(n+\frac{1}{2})x-\sin(n-\frac{1}{2})x) \\ &=\sin\frac{x}{2}(1+\sum_{k=1}^n\cos kx) \end{aligned} \]
带入上面的式子，得到
\[\frac{1-\cos nx}{1-\cos x}=n+\sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^k\cos jx\]
两边在 \((0,\pi)\) 上积分，\(\cos kx\) 积分值是 \(0\)，因此
\[\int_0^\pi \frac{1-\cos nx}{1-\cos x}\mathrm dx=n\pi\]
2.2
\[\int_{-2}^2 ((((x^2-2)^2-2)^2-2)^2-2)\mathrm dx\]
找规律，
\[\int_{-2}^2 (x^2-2)\mathrm dx=-\frac{8}{3}\]
\[\int_{-2}^2 ((x^2-2)^2-2)\mathrm dx=-\frac{8}{15}\]
因此原积分 \(-\dfrac{8}{255}\)
2.3
不会。