【Ph#1】为什么十五是大潮？

Posted on 2023-11-17 Edited on 2024-03-14 In Ph

期中考试地理死在了“常识”题上。

所以回去研究了一下潮汐的问题（

实际上海面是等势面，地球和太阳组成的系统和地球和月球组成的系统是类似的，我们仅分析地球和月球组成的系统。

这里面主要有这么几个势能：地球引力势，月球引力势，地月系转动势，地球自转势。

设地球质量为 \(M\)，月球质量为 \(m\)，月球质心到地球质心的矢量为 \(\vec d\)，用 \(v\) 表示 \(\vec v\) 的模，以地球为原点，分析位置 \(\vec r\) 的势能情况

引力势很简单，\(\varphi_{earth}=-G\dfrac{M}{r},\varphi_{moon}=-G\dfrac{M}{|\vec r+\vec d|}\)。

接下来是地月系转动势，虽然常说月球绕着地球转，但是实际上他们是绕着整个系统的质心转动。

设地月质心到地球的矢量为 \(\vec s\)，设地月转动角速度为 \(\omega_{rot}\)

则 \(G\dfrac{Mm}{d^2}=Ms\omega_{rot}^2\)

地球表面的所有物体运动均需要角速度为 \(\omega_{rot}\)，实际上忽略自转的情况下，他们的轨迹都是一个半径相同的圆，因此地球和月球的旋转系中的惯性是一个常数场，他的大小为 \(s\omega_{rot}\dfrac{\vec d}{d}\)，选取恰当的零势面，得到 \(\varphi_{rot}=G\dfrac{m\vec d\cdot \vec r}{d^3}\)

接下来是地球自转的转动势，设地球自转角速度为 \(\omega_{aut}\)，则 \(F=r\omega_{aut}^2,\varphi_{aut}=-\frac{1}{2}\omega_{aut}^2r^2\)

所以我们得到了海平面方程：

\[-G\frac{M}{r}-G\frac{m}{|\vec r+\vec d|}-G\frac{m\vec d\cdot \vec r}{d^3}-\frac{1}{2}\omega_{aut}^2r^2=C\]

考虑赤道平面的潮高，设 \(\theta=\langle \vec r,\vec d\rangle\)，则有

\[\varphi(r,\theta)=-G\frac{M}{r}-G\frac{m}{\sqrt{r^2+d^2+2rd\cos \theta}}-G\frac{mr\cos\theta}{d^2}-\frac{1}{2}\omega_{aut}^2r^2=C\]

设 \(r(0)=r_0,r(\theta)=r_0+\Delta r\)，则上面的方程可以写作

\[\varphi(r_0+\Delta r,\theta)=\varphi(r_0,0)\]

因为 \(\Delta r \ll r\)，所以可以取 \(\varphi(r,\theta)\) 对 \(\dfrac{\Delta r}{r_0}\) 的一次项近似，这样可以得到一个 \(A\Delta r=B\) 的形式。

因为 \(\varphi(r,\theta)\) 中都是 \(\varphi_i(\vec r)\) 的形式，所以提取出 \(\Delta r\) 之后，\(A\) 中每一项都是 \(\dfrac{\mathrm d\varphi_i(\vec r)}{\mathrm dr}\) 的形式，这刚好是加速度的相反数，而这些势能中，除了地球重力加速度产生的 \(g=9.8 m/s^2\) 以外，其他的加速度均远小于这个，因此在展开的时候只需要展开第一项的地球引力势能，其他的都可以用 \(r_0\) 来近似替代 \(r_0+\Delta r\)

而 \(-G\dfrac{M}{r_0+\Delta r}=-G\dfrac{M}{r_0(1+\dfrac{\Delta r}{r_0})}\sim -G\dfrac{M}{r_0}+G\dfrac{M\Delta r}{r^2}\)，这里用到的是 \((1+x)^k\sim 1+kx(x\to 0)\).

因此得到方程

\[-G\frac{M}{r_0}+G\frac{M\Delta r}{r_0^2}-G\frac{m}{\sqrt{r_0^2+d^2+2r_0d\cos\theta}}-G\frac{mr_0\cos\theta}{d^2}-\frac{1}{2}\omega_{aut}^2r_0^2 \\ = -G\frac{M}{r_0}-G\frac{m}{d+r_0}-G\frac{mr_0}{d^2}-\frac{1}{2}\omega_{aut}^2r_0^2\]

化简可得

\[G\frac{M\Delta r}{r_0^2}=G\frac{m}{\sqrt{r_0^2+d^2+2r_0d\cos\theta}}-G\frac{m}{d+r_0}-G\frac{mr_0(1-\cos\theta)}{d^2}\]

将左右对 \(\dfrac{r_0}{d}\) 展开到平方项，化简得到

\[\Delta r=-\frac{3mr_0^4}{2Md^3}(1-\cos^2\theta)\]

所以潮汐的最高点在 \(\theta=0,\pi\) 处，最低点在 \(\pi/2,3\pi/2\) 处。

也就是说仅由地月作用就已经产生了一个“椭圆”的潮汐形状，而太阳引起的潮汐也是这个形状。

这也就不难解释为什么初一和十五是大潮了，因为此时日地月处于同一直线上，月球引起的潮汐和太阳引起的潮汐叠加形成大潮，而初七和二十三则形成小潮。